【題目】綜合與實踐
問題情境:在數(shù)學(xué)活動課上,老師出示了這樣一個問題:如圖1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延長線上一點,且BE=AB,連接DE,交BC于點M,以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG,連接AM.試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系.
探究展示:勤奮小組發(fā)現(xiàn),AM垂直平分DE,并展示了如下的證明方法:
證明:∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴.(依據(jù)1)
∵BE=AB,∴.∴EM=DM.
即AM是△ADE的DE邊上的中線,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依據(jù)2)
∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?
②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上,請直接回答,不必證明;
(2)創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā),繼續(xù)進(jìn)行探究,如圖2,連接CE,以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG,發(fā)現(xiàn)點G在線段BC的垂直平分線上,請你給出證明;
探索發(fā)現(xiàn):
(3)如圖3,連接CE,以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG,可以發(fā)現(xiàn)點C,點B都在線段AE的垂直平分線上,除此之外,請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊,你還能發(fā)現(xiàn)哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上,請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并加以證明.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】
(1)①直接得出結(jié)論;
②借助問題情景即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出∠BCE+∠BEC=90°,進(jìn)而判斷出∠BEC=∠BCG,得出△GHC≌△CBE,判斷出AD=BC,進(jìn)而判斷出HC=BH,即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出四邊形BENM為矩形,進(jìn)而得出∠1+∠2=90°,再判斷出∠1=∠3,得出△ENF≌△EBC,即可得出結(jié)論.
(1)①依據(jù)1:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成比例).
依據(jù)2:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”).
②答:點A在線段GF的垂直平分線上.
理由:由問題情景知,AM⊥DE,
∵四邊形DEFG是正方形,
∴DE∥FG,
∴點A在線段GF的垂直平分線上.
(2)證明:過點G作GH⊥BC于點H,
∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上,
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°,
∴∠BCE+∠BEC=90°.
∵四邊形CEFG為正方形,
∴CG=CE,∠GCE=90°,
∴∠BCE+∠BCG=90°.
∴∠2BEC=∠BCG.
∴△GHC≌△CBE.
∴HC=BE,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∵AD=2AB,BE=AB,
∴BC=2BE=2HC,
∴HC=BH.
∴GH垂直平分BC.
∴點G在BC的垂直平分線上.
(3)答:點F在BC邊的垂直平分線上(或點F在AD邊的垂直平分線上).
過點F作FM⊥BC于點M,過點E作EN⊥FM于點N.
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.
∵四邊形ABCD是矩形,點E在AB的延長線上,
∴∠CBE=∠ABC=90°,
∴四邊形BENM為矩形.
∴BM=EN,∠BEN=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵四邊形CEFG為正方形,
∴EF=EC,∠CEF=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠3.
∵∠CBE=∠ENF=90°,
∴△ENF≌△EBC.
∴NE=BE.∴BM=BE.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC.
∵AD=2AB,AB=BE.
∴BC=2BM.
∴BM=MC.
∴FM垂直平分BC.
∴點F在BC邊的垂直平分線上.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究
下面是小明的探究過程,請補充完成:
(1)化簡函數(shù)解析式,當(dāng)x≥2時,y= ;當(dāng)x<2時,y= ;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,請在圖1的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,利用圖2解決問題,若關(guān)于x的方程ax+1=x+|x﹣2|有兩個實數(shù)根,直接寫出實數(shù)a的取值范圍: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,點E、F分別在BC、AC上,點C沿EF折疊后與點O重合,則∠BEO的度數(shù)是( )
A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O,將∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折疊,點C與點O恰好重合,則∠OEC為 度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】溫州市處于東南沿海,夏季經(jīng)常遭受臺風(fēng)襲擊,一次,溫州氣象局測得臺風(fēng)中心在溫州市的正西方向300千米的處,以每小時千米的速度向東偏南的方向移動,距臺風(fēng)中心200千米的范圍是受臺風(fēng)嚴(yán)重影響的區(qū)域,試問:
(1)臺風(fēng)中心在移動過程中離溫州市最近距離是多少千米?
(2)溫州市是否受臺風(fēng)影響?若不會受到,請說明理由;若會受到,求出溫州市受臺風(fēng)嚴(yán)重影響的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ADC的平分線與AB交于E,點F在DE的延長線上,∠BFE=90°,連接AF、CF,CF與AB交于G.有以下結(jié)論:
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FGFC
④EGAE=BGAB
其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列條件中,不能證明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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