Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+5交x軸于A，交y軸于B，點P（0，1），過BP的中點C作OA的平行線交AB于D．
（1）∠BAO的度數(shù)為______，BC的長為______，點D的坐標為______；
（2）點F是線段BC上任意一點，DH⊥DF交AO于H，求值；
（3）在線段OA、AD、DC是否分別存在一個點M、N、E，使四邊形PMNE為正方形，若存在，求點M、N、E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在直線y=x+5中，令x=0，則y=5，即B（0，5）；令y=0，則x=-5，即A（-5，0）．
∴OA=OB，
∴∠BAO=45°．
∵P（0，1），
∴BP=4，
又C是BP的中點，
∴BC=2．
∵CD∥OA，
∴∠BDC=∠BAO=45°，
∴CD=BC=2，即點D的橫坐標是-2，
把x=-2代入y=x+5中，得y=3，
則D（-2，3）．
故答案為∠BAO=45°，BC=2，D（-2，3）．

（2）作DQ⊥AO于Q，得到矩形DQOC，則DQ=OC，F(xiàn)DC=∠HDQ，
∴△FDC∽△HDQ，
∴==；

（3）存在，△MOP≌△PCE，得OM=PC=2，CE=OP=1，
∴M（-2，0），E（-1，3）
方法一：將線段PE平移至MN，所以點N的坐標為（-3，2），則四邊形PMNE為正方形，由坐標可驗證點N在直線AD上．
方法二：作NN₁⊥AO于N₁，得△NN₁M≌△MOP可求點N（-3，2），驗證N在直線AB上．
方法三：延長NM交y軸于F，在△MPF中，可求點F（0，-4），直線MF的解析式為y=-2x-4交直線y=x+5得N（-3，2），然后驗證四邊形PMNE為正方形．
分析：（1）根據(jù)直線y=x+5求得點A和點B的坐標，不難發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形AOB，從而求得∠BAO=45°，根據(jù)OP=1，求得BP=4，進而求得BC=2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到三角形BCD也是等腰直角三角形，則CD=BD=2，即點D的橫坐標是-2，再進一步根據(jù)直線解析式求得點D的縱坐標；
（2）作DQ⊥AO于Q，得到矩形DQOC．則DQ=OC，F(xiàn)DC=∠HDQ，根據(jù)兩個角對應相等得到△FDC∽△HDQ，再根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等求解即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和直線的解析式求得點M、N、E的坐標即可．
點評：此題綜合考查了直線和坐標軸的交點、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．