Question

20．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-$\frac{1}{3}$x+b交y軸于點A（0，1），交x軸于點B．過點E（1，0）作x軸的垂線EF交AB于點D，P是直線EF上一動點，且在點D的上方，設(shè)P（1，n）．
（1）直線AB的表達式為y=-$\frac{1}{3}$x+1；
（2）求△ABP的面積（用含n的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)S_△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，請直接寫出點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標(biāo)代入直線AB的解析式，即可求得b的值；
（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，即可求得△BPD和△PAB的面積，二者的和即可求得；
（3）當(dāng)S_△ABP=2時，$\frac{3}{2}$n-1=2，解得n=2，則∠OBP=45°，然后分A、B、P分別是直角頂點求解．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$x+b經(jīng)過A（0，1），
∴b=1，
∴直線AB的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+1；
故答案為：y=-$\frac{1}{3}$x+1；

（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，∵x=1時，y=-$\frac{1}{3}$x+1=$\frac{2}{3}$，P在點D的上方，
∴PD=n-$\frac{2}{3}$，S${\;}_{△APD}=\frac{1}{2}$PD•AM=$\frac{1}{2}×1×（n-\frac{2}{3}）=\frac{1}{2}n-\frac{1}{3}$，
由點B（3，0），可知點B到直線x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長為2，
∴S△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=n-$\frac{2}{3}$，
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+n-$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$n-1；

（3）當(dāng)S_△ABP=2時，$\frac{3}{2}$n-1=2，解得n=2，
∴點P（1，2）．
∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，
過點C作CN⊥直線x=1于點N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°，
在△CNP與△BEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NPC=∠EPB}\\{∠CNP=∠PEB=90°}\\{BP=PC}\end{array}\right.$，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C（3，4）．
第2種情況，如圖2∠PBC=90°，BP=BC，
過點C作CF⊥x軸于點F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°，
在△CBP與△PBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠PBE}\\{∠CFB=∠PEB}\\{BC=BP}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C（5，2）．
第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=EB，
∴∠CPB=∠EBP=45°，
在△PCB和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=EB}\\{∠CPB=∠EBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△PEB（SAS），
∴PC=CB=PE=EB=2，
∴C（3，2）．
∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得n的值，判斷∠OBP=45°是關(guān)鍵．