Question

如圖，已知拋物線y=

3

4

x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，過點(diǎn)C的直線y=

3

4t

x-3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PH⊥OB于點(diǎn)H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）確定b，c的值；
（2）求線段QH的長(zhǎng)度（用含t的式子表示）；
（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使△COQ與△QPH相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線CQ的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、C坐標(biāo)代入拋物線中即可求出b、c的值．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出∠PBH的三角函數(shù)值（通過相似三角形△BHP，△BOC來求也行）．已知了BP的坐標(biāo)，即可根據(jù)∠PBH的三角函數(shù)求出BH、PH的長(zhǎng)，可根據(jù)直線CQ的解析式求出OQ的長(zhǎng)，那么由QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（當(dāng)H在OQ之間時(shí)）即可得出QH的表達(dá)式．
（3）本題要分情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)Q在OH之間時(shí)，此時(shí)QH=OH-OQ，可分△OQC∽△HPQ和△OQC∽△HQP兩種情況來求，可根據(jù)各自的對(duì)應(yīng)成比例線段求出t的值．
②當(dāng)Q在BH之間時(shí)，此時(shí)QH=OQ-OH，PH∥OC，只有△QHP∽△QOC一種情況，可根據(jù)對(duì)應(yīng)成比例線段求出t的值．

解答：解：（1）c=-3
將（-1，0）和c=-3代入y=

3

4

x2+bx+c，
得b=-

9

4

．

（2）設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），由y=

3

4

x2-

9

4

x-3，
可求得A（-1，0），B（4，0）．
由y=

3

4t

x-3，
可求得Q（4t，0）．
由題意可證△BHP∽△BOC，
OB：OC：BC=4：3：5即BH：HP：BP=4：3：5，
BP=5t，則BH=4t=4-x，OH=x=4-4t
而QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（當(dāng)H在OQ之間時(shí)）
又因?yàn)镺Q=4t，BH=4t
所以，QH=4-4t-4t或QH=4t-（4-4t）
即QH=4-8t或8t-4
即QH=|4-8t|．

（3）存在這樣的t的值使△COQ與△QPH相似，
當(dāng)QH=OH-OQ=4-8t時(shí)，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=4-8t，
若相似，則QH：OC=3：4，
所以t=

7

32

，
當(dāng)QH=OQ-OH=8t-4時(shí)，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=8t-4，
若相似，則QH：OC=3：4，
所以t=

25

32

，
當(dāng)QH=OH-OQ=4-8t時(shí)，OQ：QH=OC：PH，
得

4t

4-8t

=

3

3t

，t²+2t-1=0
所以t1=

2

-1，t2=-

2

-1（舍去）
綜上，存在t的值，t的值為

7

32

或

25

32

或

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
要注意的是（3）中要根據(jù)Q的位置和不同的對(duì)應(yīng)相似三角形來分類求解．不要漏解．