Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交與點N其頂點為D．
（1求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的解析式；
（3）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；
（4）若拋物線對稱軸與直線AC相交于點B，直接寫出拋物線左右平移多少個單位時過點B；上下平移多少個單位時過點B．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得到拋物線解析式，再整理成頂點式形式，然后寫出頂點D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；
（3）求出點D關(guān)于直線x=3的對稱點D′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接D′N與直線x=3的交點即為所求的點M，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′N的解析式，再令x=3求解即可得到m的值；
（4）求出點B的坐標(biāo)為（1，2），然后令y=0解方程得到x的值，即可得到左右平移的單位，根據(jù)點B、D的縱坐標(biāo)可得向下平移的單位數(shù)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3），
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
∴直線AC的解析式為y=x+1；

（3）∵點D（1，4），點（3，m）在直線x=3上，
∴點D關(guān)于直線x=3的對稱點D′坐標(biāo)為（5，4），
令x=0，則y=3，
所以，點N的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線D′N的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

5k+b=4 b=3

，
解得

k= 1 5 b=3

，
所以，y=

1

5

x+3，
當(dāng)x=3時，y=

1

5

×3+3=

18

5

，
所以，m=

18

5

；

（4）拋物線y=-（x-1）²+4的對稱軸為直線x=1，
當(dāng)x=1時，y=x+1=1+1=2，
所以，點B的坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)y=2時，-x²+2x+3=2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x=1±

2

，
∵1+

2

-1=

2

，1-（1-

2

）=

2

，
∴拋物線向左或向右平移

2

個單位，經(jīng)過點B，
∵點D（1，4），點B（1，2），4-2=2，
∴拋物線向下平移2個單位，經(jīng)過點B．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，軸對稱確定最短路線問題，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點在于（3）掌握點M的位置的確定方法．