【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
解答下列問(wèn)題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖2,線段CF,BD所在直線位置關(guān)系為 ,數(shù)量關(guān)系為 .
(2)如果AB=AC,∠BAC=90,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí),如圖3,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由。
(3)如果AB=AC,∠BAC是鈍角,點(diǎn)D在線段BC上,當(dāng)∠ABC滿足什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F不重合)畫出圖形,并說(shuō)明理由。
【答案】(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立 (3)當(dāng)∠ACB=45時(shí)
【解析】分析: (1)①證明△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD與CF相等且垂直;
②①的結(jié)論仍成立,同理證明△DAB≌△FAC,可得結(jié)論:垂直且相等;
(2)當(dāng)∠ACB滿足45°時(shí),CF⊥BC;如圖4,作輔助線,證明△QAD≌△CAF,即可得出結(jié)論.
詳解:
(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等
(2)當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°
∵∠BAC=90v,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠ABC=45°
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD.
(3)當(dāng)∠ACB=45°時(shí),CF⊥BD,理由:
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G
∴AC=AG
可證得:△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD.
點(diǎn)睛: 本題是四邊形的綜合題,考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定,本題的三個(gè)結(jié)論都是證明三角形全等得出,所以利用SAS證明三角形全等是本題的關(guān)鍵;第(2)問(wèn),恰當(dāng)?shù)刈鬏o助線,構(gòu)建等腰直角三角形,同樣也是構(gòu)建兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,P是CD邊上一點(diǎn),且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA,若AD=5,AP=8,則△APB的周長(zhǎng)是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連結(jié)OB、OC,并將AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié),得到四邊形DEFG.
(1)求證:四邊形DEFG是平行四邊形;
(2)若M為EF的中點(diǎn),OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在對(duì)角線AC上,且AE=CF.求證:
(1)DE=BF;
(2)四邊形DEBF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn) A(x,y),若 xy=0,那么點(diǎn) A 在___________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△AOB中,兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B.若反比例函數(shù)y= 的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A′B的中點(diǎn)C,S△ABO=16,tan∠BAO=2,則k的值為( )
A.20
B.22
C.24
D.26
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)在一樓與二樓之間裝有一部自動(dòng)扶梯,以均勻的速度向上行駛,一男孩與一女孩同時(shí)從自動(dòng)扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛).如果二人都做勻速運(yùn)動(dòng),且男孩每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是女孩的兩倍.又已知男孩走了27級(jí)到達(dá)頂部,女孩走了18級(jí)到達(dá)頂部(二人每步都只跨1級(jí)).
(1)扶梯在外面的部分有多少級(jí).
(2)如果扶梯附近有一從二樓下到一樓的樓梯,臺(tái)階級(jí)數(shù)與扶梯級(jí)數(shù)相等,這兩人各自到扶梯頂部后按原速度走下樓梯,到一樓后再乘坐扶梯(不考慮扶梯與樓梯間的距離).則男孩第一次追上女孩時(shí),他走了多少臺(tái)階?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)如圖一,若△ABC是等邊三角形,且AB=AC=2,點(diǎn)D在線段BC上,
①求證:∠BCE+∠BAC=180°;
②當(dāng)四邊形ADCE的周長(zhǎng)取最小值時(shí),求BD的長(zhǎng).
(2)若∠BAC60° ,當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上移動(dòng),則∠BCE和∠BAC 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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