Question

2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C是$\widehat{BD}$的中點，∠COB=60°，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OD，可證明△AOD為等邊三角形，可得到∠EAO=∠COB，可證明OC∥AE，可證得結(jié)論；
（2）利用△OCD和△AOD都是等邊三角形可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：
連接OD，如圖，
∵C是$\widehat{BD}$的中點，
∴∠BOC=∠COD=60°，
∴∠AOD=60°，且OA=OD，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠EAB=∠COB，
∴OC∥AE，
∴∠OCE+∠AEC=180°，
∵CE⊥AE，
∴∠OCE=180°-90°=90°，即OC⊥EC，
∵OC為圓的半徑，
∴CE為圓的切線；
（2）解：
四邊形AOCD是菱形，理由如下：
由（1）可知△AOD和△COD均為等邊三角形，
∴AD=AO=OC=CD，
∴四邊形AOCD為菱形．

點評 本題主要考查切線和菱形的判定，掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵，即有切點時連接圓心和切點，然后證明垂直，沒有切點時，過圓心作垂直，證明圓心到直線的距離等于半徑．