Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于M，有下面4個(gè)結(jié)論：
①射線BD是△ABC是角平分線；②圖中共有三個(gè)等腰三角形；③△BCD的周長=AB+BC；④△AMD≌△BCD．
其中正確的有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠ABD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形兩底角相等求出ABC、∠C的度數(shù)，再求出∠CBD，然后對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．

解答：解：∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°，
∴∠ABD=∠CBD，射線BD是△ABC是角平分線，故①正確；
在△BCD中，∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，
等腰三角形還有△ABC，△ABD，共3個(gè)，故②正確；
△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+CD+AD=AB+BC，故③正確；
④△AMD是有一個(gè)銳角是36°的直角三角形，△BCD是頂角為36°的等腰三角形，兩三角形不全等，故本小題錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的有①②③共3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，根據(jù)度數(shù)相等求得相等的角是解題的關(guān)鍵．