Question

【題目】如圖1，延長(zhǎng)⊙O的直徑AB至點(diǎn)C，使得BC=AB，點(diǎn)P是⊙O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B重合），連結(jié)OP，CP．

（1）∠C的最大度數(shù)為 　；

（2）當(dāng)⊙O的半徑為3時(shí)，△OPC的面積有沒(méi)有最大值？若有，說(shuō)明原因并求出最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)DB，當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）有最大值為9，理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；

（2）由△OPC的邊OC是定值，得到當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，△OPC的面積最大，當(dāng)PO⊥OC時(shí)，取得最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CPO=∠APB，根據(jù)圓周角定理得到∠APB=90°，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)PC與⊙O相切時(shí)，∠OCP最大．如圖1，所示：

∵sin∠OCP===，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度數(shù)為30°，

故答案為：30°；

（2）有最大值，理由：

∵△OPC的邊OC是定值，∴當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)，△OPC的面積最大，

而點(diǎn)P在⊙O上半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PO⊥OC時(shí)，取得最大值，即此時(shí)OC邊上的高最大，

也就是高為半徑長(zhǎng)，∴最大值S△OPC=OCOP=×6×3=9；

（3）連結(jié)AP，BP，如圖2，

在△OAP與△OBD中， ，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中， ，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，

∵AB為直徑，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于點(diǎn)P，即CP是⊙O的切線．