Question

3．已知圓的半徑為R，AB、BC、CD分別為此圓的正三邊形、四邊形、正六邊形的一邊，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 連接OA，OB，OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，由內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、BC、AD的長(zhǎng)恰好分別等于⊙O內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)，可得△AOB是頂角為120°的等腰三角形，△AOD是頂角為60°的等腰三角形，△BOC與△COD是等腰直角三角形，繼而求得各三角形的面積，從而求得答案．

解答 解：連接OA，OB，OC，OD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，
∵內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB、BC、AD的長(zhǎng)恰好分別等于⊙O內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)，
∴∠AOB=120°，∠BOC=90°，∠AOD=60°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOE=60°，∠AOF=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，AF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$R，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
∴AB=2AE=$\sqrt{3}$R，AD=2AF=R，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×$\frac{1}{2}$R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R×R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²，
S_△BOC=S_△COD=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×R×R=$\frac{1}{2}$R²，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AOB+S_△AOD+S_△BOC+S_△COD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R²+R²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的中心角的求法、正三邊形、正四邊形、正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．