Question

11．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=8cm，BC=BD=10cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為
1cm/s；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PE∥AB？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使S_△DEQ=$\frac{1}{25}{S}_{△BCD}$？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．
（3）如圖2連接PF，在上述運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PFCDE的面積是否發(fā)生變化？說明理由．

Answer 1

分析 （1）若要PE∥AB，則應(yīng)有$\frac{DE}{DA}=\frac{DP}{DB}$，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；
（3）利用S_△DEQ=$\frac{1}{25}{S}_{△BCD}$建立方程，求得t的值；
（4）易得△PDE≌△FBP，故有S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即五邊形的面積不變．

解答 解：（1）據(jù)題意得DE=BP=t，則DP=10-t，
∵PE∥AB，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DP}{DB}$，
∴$\frac{t}{6}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{15}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{15}{4}$（s）時(shí)，PE∥AB；

（2）存在，
∵DE∥BC，
∴△DEQ∽△BCD，
∴$\frac{{S}_{△EDQ}}{{S}_{△BCD}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²，
∵S_△DEQ=$\frac{1}{25}{S}_{△BCD}$，
∴$\frac{{S}_{△EDQ}}{{S}_{△BCD}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{25}$，
∴（$\frac{t}{10}$）²=$\frac{1}{25}$，
∴t²=$\frac{1}{25}$×100=4；
t₁=2，t₂=-2（不合題意舍去），
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_△DEQ=$\frac{1}{25}{S}_{△BCD}$；

（3）不變．過B作BM⊥CD，交CD于M
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}CD•$BM=$\frac{1}{2}×8×2\sqrt{21}$=8$\sqrt{21}$，
在△PDE和△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BP=t}\\{∠PDE=∠FBP}\\{PD=BF=10-t}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△FBP，
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD=8$\sqrt{21}$，
∴在運(yùn)動(dòng)過程中，五邊形PFCDE的面積不變．

點(diǎn)評 本題利用了平行線的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式求解．綜合性較強(qiáng)，難度較大．