Question

如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸于點A、D，交y軸于點E，連接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點B的坐標；
（2）求證：CB是△ABE外接圓的切線；
（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）設△AOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≦3）時，△AOE與△ABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．

Answer 1

解：由題意，設拋物線解析式為y=a（x﹣3）（x+1）．
將E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x²+2x+3．則點B（1，4）．
（2）證明：如圖1，過點B作BM⊥y于點M，則M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE==3．
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．
∵AB是△ABE外接圓的直徑．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圓的切線．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則△DEP必為直角三角形；
①DE為斜邊時，P₁在x軸上，此時P₁與O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE滿足△DEO∽△BAE的條件，
因此 O點是符合條件的P₁點，坐標為（0，0）．
②DE為短直角邊時，P₂在x軸上；若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，
則∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；
而DE==，則DP₂=DE×sin∠DP2E=×=10，OP₂=DP₂﹣OD=9
即：P₂（9，0）；
③DE為長直角邊時，點P₃在y軸上；
若以D、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，則∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；
則EP₃=DE×cos∠DEP₃=×=，OP₃=EP₃﹣OE=；
綜上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，﹣）．
（4）解：設直線AB的解析式為y=kx+b．將A（3，0），B（1，4）代入，得解得
∴y=﹣2x+6．過點E作射線EF∥x軸交AB于點F，
當y=3時，得x=，∴F（，3）．
情況一：如圖2，當0＜t≦時，
設△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G．則ON=AD=t，過點H作LK⊥x軸于點K，交EF于點L．由△AHD∽△FHM，得，即．
解得HK=2t．∴S_陰=S_△MND﹣S_△GNA﹣S_△HAD=×3×3﹣（3﹣t）²﹣t×2t=﹣t²+3t．
情況二：如圖3，當＜t≦3時，
設△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于點I，交AE于點V．由△IQA∽△IPF，得．
即，解得IQ=2（3﹣t）．
∴S_陰=S_△IQA﹣S_△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）×2=（3﹣t）²=t²﹣3t+．
綜上所述：s=．