【題目】如圖,在矩形ABCD中,點P在邊CD上,且與C、D不重合,過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q,連接PQ,M為PQ中點.

(1)求證:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,點P在邊CD上運動,設(shè)DP=x,BM2=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求線段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,隨著a的大小的變化,點M的位置也在變化.當(dāng)點M落在矩形ABCD外部時,求a的取值范圍.

【答案】
(1)

證明:∵∠QAP=∠BAD=90°,

∴∠QAB=∠PAD,

又∵∠ABQ=∠ADP=90°,

∴△ADP∽△ABQ


(2)

解:∵△ADP∽△ABQ,

,即 ,解得QB=2x.

∵DP=x,CD=AB=20,

∴PC=CD﹣DP=20﹣x.

如解答圖所示,過點M作MN⊥QC于點N,

∵MN⊥QC,CD⊥QC,點M為PQ中點,

∴點N為QC中點,MN為中位線,

∴MN= PC= (20﹣x)=10﹣ x,

BN= QC﹣BC= (BC+QB)﹣BC= (10+2x)﹣10=x﹣5.

在Rt△BMN中,由勾股定理得:BM2=MN2+BN2=(10﹣ x)2+(x﹣5)2= x2﹣20x+125,

∴y= x2﹣20x+125(0<x<20).

∵y= x2﹣20x+125= (x﹣8)2+45,

∴當(dāng)x=8即DP=8時,y取得最小值為45,BM的最小值為 =


(3)

解:設(shè)PQ與AB交于點E.

如解答圖所示,點M落在矩形ABCD外部,須滿足的條件是BE>MN.

∵△ADP∽△ABQ,

,即 ,解得QB= a.

∵AB∥CD,

∴△QBE∽△QCP,

,即 ,解得BE=

∵MN為中位線,

∴MN= PC= (a﹣8).

∵BE>MN,

(a﹣8),解得a>12.5.

∴當(dāng)點M落在矩形ABCD外部時,a的取值范圍為:a>12.5.


【解析】(1)由對應(yīng)兩角相等,證明兩個三角形相似;(2)如解答圖所示,過點M作MN⊥QC于點N,由此構(gòu)造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,這是一個二次函數(shù),求出其最小值;(3)如解答圖所示,當(dāng)點M落在矩形ABCD外部時,須滿足的條件是“BE>MN”.分別求出BE與MN的表達式,列不等式求解,即可求出a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定的相關(guān)知識點,需要掌握矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等;相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS)才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】黔東南州某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外學(xué)習(xí)實踐情況,隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為A,B,C,D四個等級,設(shè)學(xué)生時間為t(小時),A:t<1,B:1≤t<1.5,C:1.5≤t<2,D:t≥2,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中信息解答下列問題:

(1)本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生?并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)本次抽樣調(diào)查中,學(xué)習(xí)時間的中位數(shù)落在哪個等級內(nèi)?
(3)表示B等級的扇形圓心角α的度數(shù)是多少?
(4)在此次問卷調(diào)查中,甲班有2人平均每天課外學(xué)習(xí)時間超過2小時,乙班有3人平均每天課外學(xué)習(xí)時間超過2小時,若從這5人中任選2人去參加座談,試用列表或化樹狀圖的方法求選出的2人來自不同班級的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.如果點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動,同時點F由點D出發(fā)沿DA方向向點A勻速運動,它們的速度分別為2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC,分別交AC、BC于點P和Q,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4).

(1)連結(jié)EF、DQ,若四邊形EQDF為平行四邊形,求t的值;
(2)連結(jié)EP,設(shè)△EPC的面積為ycm2 , 求y與t的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(3)若△EPQ與△ADC相似,請直接寫出t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了了解市民“獲取新聞的最主要途徑”某市記者開展了一次抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)這次接受調(diào)查的市民總?cè)藬?shù)是;
(2)扇形統(tǒng)計圖中,“電視”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)若該市約有80萬人,請你估計其中將“電腦和手機上網(wǎng)”作為“獲取新聞的最主要途徑”的總?cè)藬?shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】
(1)計算:( 1+|3tan30°﹣1|﹣(π﹣3)0
(2)先化簡,再求值: ,其中x= ﹣3.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知x﹣ =3,則4﹣ x2+ x的值為(
A.1
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站,A在B的正東方向,AB=2(單位:km).有一艘小船在點P處,從A測得小船在北偏西60°的方向,從B測得小船在北偏東45°的方向.

(1)求點P到海岸線l的距離;
(2)小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后,到點C處,此時,從B測得小船在北偏西15°的方向.求點C與點B之間的距離.(上述兩小題的結(jié)果都保留根號)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= ,BC=3,△DEF是邊長為a(a為小于3的常數(shù))的等邊三角形,將△DEF沿AC方向平移,使點D在線段AC上,DE∥AB,設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長為T.

(1)求證:點E到AC的距離為一個常數(shù);
(2)若AD= ,當(dāng)a=2時,求T的值;
(3)若點D運動到AC的中點處,請用含a的代數(shù)式表示T.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知點A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),拋物線F: 與直線x=-2交于點P.

(1)當(dāng)拋物線F經(jīng)過點C時,求它的表達式;
(2)拋物線F上有兩點M 、N ,若-2≤ , ,求m的取值范圍;
(3)設(shè)點P的縱坐標(biāo)為 ,求 的最小值,此時拋物線F上有兩點M 、N
≤-2,比較 的大。
(4)當(dāng)拋物線F與線段AB有公共點時,直接寫出m的取值范圍。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案