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【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點E、O、F，連接CE和AF.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周長.

【答案】（1）見解析；（2）20

【解析】

（1）根據ASA推出：△AEO≌△CFO；根據全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；

（2）根據線段垂直平分線性質得出AF=CF，設AF=x，推出AF=CF=x，BF=8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到結論．

（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．

在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF．

又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．

又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）設AF=x．

∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周長為20．

練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F是DE的中點，連接CF．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．

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【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．

（1）觀察猜想

圖1中，線段PM與PN的數量關系是　 　，∠MPN的度數是　 　；

（2）探究證明

把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝8，請直接寫出△PMN面積的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知關于的一元二次方程．

（1）求證：無論取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若、是原方程的兩根，且，求的值和此時方程的兩根．

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【題目】在平面直角坐標系 XOY中，對于任意兩點 (,)與 (,)的“非常距離”，給出如下定義： 若 ，則點 與點 的“非常距離”為 ；若 ，則點 與點的“非常距離”為 .

例如：點 (1,2)，點 (3,5)，因為 ，所以點 與點 的“非常距離”為 ，也就是圖1中線段 Q與線段 Q長度的較大值（點 Q為垂直于 y軸的直線 Q與垂直于 x軸的直線 Q的交點）。

（1）已知點 A(-,0)， B為 y軸上的一個動點，①若點 A與點 B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點 B的坐標；②直接寫出點 A與點 B的“非常距離”的最小值；

（2）已知 C是直線 上的一個動點，①如圖2，點 D的坐標是（0，1），求點 C與點 D的“非常距離”的最小值及相應的點 C的坐標； ②如圖3， E是以原點 O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點 C與點 E的“非常距離”的最小值及相應的點 E和點 C的坐標。

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B和點C（3，0），且圖象過點D（2，3），連結AD，點P是線段AD上一個動點，過點P作y軸平行線分別交拋物線和x軸于點E，F．連結AE，過點F作FG//AE交AD的延長線于點G．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若tan∠G＝，求點E的坐標；

（3）當△AFG是直角三角形時，求DG的長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠用天時間生產一款新型節(jié)能產品，每天生產的該產品被某網店以每件元的價格全部訂購，在生產過程中，由于技術的不斷更新，該產品第天的生產成本（元/件）與（天）之間的關系如圖所示，第天該產品的生產量（件）與（天）滿足關系式

第天，該廠生產該產品的利潤是　 　元；

設第天該廠生產該產品的利潤為元．

①求與之間的函數關系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？

②在生產該產品的過程中，當天利潤不低于元的共有多少天？

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線經過點，

（1）求這個函數的解析式；

（2）寫出拋物線上點關于對稱軸對稱點的坐標；

（3）求的面積．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在11×11的正方形網格中，△TAB的頂點分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）．

（1）以點T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′：TA）3：1，在位似中心的同側將△TAB放大為△TA′B′，放大后點A，B的對應點分別為A′，B′，畫出△TA′B′，并寫出點A′，B′的坐標；點A′的坐標為 ，點B′的坐標為

（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C′的坐標為 ．

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