Question

【題目】問(wèn)題提出：

某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)），則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽？

構(gòu)建模型：

生活中的許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題．

為解決上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：

（1）如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線(xiàn)上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線(xiàn)段把他們連接起來(lái)．由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線(xiàn)段，這樣一共連成5×4條線(xiàn)段，而每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有 條線(xiàn)段，所以該校一共要安排 場(chǎng)比賽．

（2）若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排__________場(chǎng)比賽；

…………

（3）根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排___________場(chǎng)比賽．

實(shí)際應(yīng)用：

（4）9月1日開(kāi)學(xué)時(shí)，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識(shí)，請(qǐng)班上42位新同學(xué)每?jī)蓚�(gè)人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手________________次．

拓展提高：

（5）往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車(chē)，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車(chē)站（每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱(chēng)與下車(chē)站名稱(chēng)），那么在這段線(xiàn)路上往返行車(chē)，要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為__________種．

Answer 1

【答案】（1）10，10；（2）15；（3）；（4）861；（5）30

【解析】

（1）根據(jù)圖①線(xiàn)段數(shù)量進(jìn)行作答．

（2）根據(jù)圖②線(xiàn)段數(shù)量進(jìn)行作答．

（3）根據(jù)每個(gè)點(diǎn)存在n-1條與其他點(diǎn)的連線(xiàn)，而每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段都重復(fù)計(jì)算了一次，提出假設(shè)，當(dāng) 時(shí)均成立，假設(shè)成立．

（4）根據(jù)題意，代入求解即可．

（5）根據(jù)題意，代入求解即可．

（1）由圖①可知，圖中共有10條線(xiàn)段，所以該校一共要安排10場(chǎng)比賽．

（2）由圖②可知，圖中共有15條線(xiàn)段，所以該校一共要安排15場(chǎng)比賽．

（3）根據(jù)圖①和圖②可知，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則每個(gè)點(diǎn)存在n-1條與其他點(diǎn)的連線(xiàn)，而每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段都重復(fù)計(jì)算了一次

∴若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排場(chǎng)比賽．

當(dāng) 時(shí)均成立，所以假設(shè)成立．

（4）將n=42代入關(guān)系式中

∴全班同學(xué)總共握手861次．

（5）因?yàn)樾熊?chē)往返存在方向性，所以不需要除去每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)之間的線(xiàn)段都重復(fù)計(jì)算了一次的情況

將n=6代入 中

解得

∴要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為30種．