Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)O任作一直線(xiàn)分別交BC、AD于點(diǎn)M、N（如圖①）．
（1）求證：BM=DN；
（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；
（3）在（2）的條件下，若△CDN的面積與△CMN的面積比為1：3，求

MN

DN

的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，可證明△OBM≌△ODN，則BM=DN；
（2）先證明四邊形AMCN是平行四邊形，再由翻折得，AM=CM，則四邊形AMCN是菱形；
（3）又S_△CDN：S_△CMN=1：3，可得DN：CM=1：3，設(shè)DN=k，則CN=CM=3k，過(guò)N作NG⊥MC于點(diǎn)G，則可求出NG和MN，從而求出比值．

解答：（1）證法一：連接BD，則BD過(guò)點(diǎn)O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
又OB=OD，∠BOM=∠DON，
∴△OBM≌△ODN，
∴BM=DN；

證法二：∵矩形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱(chēng)中心，
∴B、D和M、N關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
∴BM=DN；

（2）證法一：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
又BM=DN，
∴AN=CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
由翻折得，AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形；

證法二：由翻折得，AE=CD，∠E=∠D，∠AMN=∠CMN，
又∵∠ANE=∠CND，
∴△ANE≌△CND，
∴AN=CN．
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四邊形AMCN是菱形．

（3）解法一：∵S_△CDN=

1

2

DN•CD，S_△CMN=

1

2

CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
設(shè)DN=k，則CN=CM=3k，
過(guò)N作NG⊥MC于點(diǎn)G，
則CG=DN=k，MG=CM-CG=2k，
NG=

CN2-CG2

=

9k2-k2

=2

2

k，
∴MN=

MG2+NG2

=

4k2+8k2

=2

3

k，
∴

MN

DN

=

2 3 k

k

=2

3

；

解法二：∵S_△CDN=

1

2

DN•CD，S_△CMN=

1

2

CM•CD，
又S_△CDN：S_△CMN=1：3，
∴DN：CM=1：3，
連接AC，則AC過(guò)點(diǎn)O，且AC⊥MN，
設(shè)DN=k，則CN=AN=CM=3k，AD=4k，
CD=

NC2-DN2

=

9k2-k2

=2

2

k，
OC=

1

2

AC=

1

2

AD2+CD2

=

1

2

16k2+8k2

=

6

k，
∴MN=2ON=2

CN2-OC2

=2

9k2-6k2

=2

3

k，
∴

MN

DN

=

2 3 k

k

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：圖形的折疊實(shí)際上相當(dāng)于把折疊部分沿著折痕所在直線(xiàn)作軸對(duì)稱(chēng)，所以折疊前后的兩個(gè)圖形是全等三角形，復(fù)合的部分就是對(duì)應(yīng)量．