Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)C（1,0），如圖所示；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；                

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ΔACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所以點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°；

∴∠BCD=∠CAO； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，

∴ △BDC≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1)

（2）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,1)，則得  解得，所以拋物線的解析式為

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，似的△ACP是直角三角形:

①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1  使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖1。

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，  ∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MCP1≌△BCD

∴ CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1（-1，-1）；經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1（-1，-1）在拋物線為上；

②若以AC為直角邊， 點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖2。

同理可得△AP2N≌△CAO；∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2（-2，1），；經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P2（-2，1）也在拋物線上；

③若以AC為直角邊， 點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖3。

同理可得△AP3H≌△CAO；∴HP3=OA=2，AH=OC=1，可求得點(diǎn)P3（2，3），；經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P3（2，3）不拋物線上；

故符合條件的點(diǎn)有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩個(gè)。

【解析】本試題主要是考查了拋物線方程的求解，以及三角形全等的運(yùn)用。

（1）由于等腰直角三角形ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)C（1,0）則利用邊相等，設(shè)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，根據(jù)△BDC≌△CAO，可知點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）根據(jù)上一問(wèn)中B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知的拋物線的解析式中可以得到結(jié)論。

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，似的△ACP是直角三角形: 若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁  使得P₁C=BC,得到等腰直角三角形ACP₁

或者以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂分別討論得到。