Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA向點A運動，當運動到點A時停止，若設點D運動的時間為t秒．點D運動的速度為每秒1個單位長度．
（1）當t=2時，CD=2，AD=8；
（2）求當t為何值時，△CBD是直角三角形，說明理由；
（3）求當t為何值時，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)CD=速度×時間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得解；
（3）分①CD=BC時，CD=6；②BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得CD=2CF，再由（2）的結論解答．

解答 解：（1）t=2時，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
AD=AC-CD=10-2=8；
故答案是：2；8．
（2）①∠CDB=90°時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$AB•BC，
即$\frac{1}{2}$×10•BD=$\frac{1}{2}$×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-4．{8}^{2}}$=3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°時，點D和點A重合，
t=10÷1=10秒，
綜上所述，t=3.6或10秒；
故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BC時，CD=6，t=6÷1=6；
②BD=BC時，如圖2，過點B作BF⊥AC于F，
則CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
綜上所述，t=6秒或7.2秒時，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形．

點評 本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質，三角形的面積，（2）（3）難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．