Question

如圖，將OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M，N以每秒1個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜8），并求當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？若有，求出這個(gè)最大值；
（3）試探究：在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一個(gè)時(shí)刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）延長(zhǎng)NP到OA于一點(diǎn)G，
∵NP⊥BC，
∴PG⊥AO，
∵OA=8，AB=6，
∴===，
∵CN=t，
∴PG=t，
∴B（8，6），P（t，）；


（2）∵PG=t，OM=8-t，
∴（0＜t＜8），
當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值，最大值為6．

（3）當(dāng)OP=PM時(shí)，有8-t=2t，
解得：，∴M（，0）；
當(dāng)OP=OM時(shí)，有，
解得：，∴M（，0）；
當(dāng)OM=PM時(shí)，有，
解得：，∴M（，0）．
綜上所述，M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（，0）．
分析：（1）根據(jù)OA=8，AB=6的矩形OABC，得出B點(diǎn)坐標(biāo)即可，再利用平行線的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用PG以及OM的長(zhǎng)表示出△OMP的面積即可得出答案；
（3）當(dāng)OP=PM時(shí)，有8-t=2t，當(dāng)OP=OM時(shí)，有，當(dāng)OM=PM時(shí)，有，分別求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知進(jìn)行分類(lèi)討論得出M點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．