Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）．
①如圖1．當(dāng)△PBC面積與△ABC面積相等時．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②如圖2．當(dāng)∠PCB=∠BCA時，求直線CP的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸公式，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組，求拋物線解析式；
（2）①只需要AP∥BC即可滿足題意，先求直線BC解析式，根據(jù)平行線的解析式一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線AP的解析式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求直線AP的解析式，將拋物線與直線AP解析式聯(lián)立，即可求P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移法求滿足條件的另外兩個P點(diǎn)坐標(biāo)；
②延長CP交x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)拋物線解析式可知△OBC為等腰直角三角形，利用角的關(guān)系證明∠OCA=∠OQC，可證Rt△AOC∽Rt△COQ，利用相似比求解．

解答：解：（1）由題意，得

a+b+c=0 c=-3 - b 2a =2

，解得

a=-1 b=4 c=-3

∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（2）①令-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴B（3，0），
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，如圖1，
過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，
易求直線BC的解析式為y=x-3，
∴設(shè)直線AP的解析式為y=x+n，
∵直線AP過點(diǎn)A（1，0），代入求得n=-1．
∴直線AP的解析式為y=x-1
解方程組

y=x-1 y=-x2+4x-3

，得

x1=1 y1=0

，

x2=2 y2=1

，
∴點(diǎn)P₁（2，1）
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，如圖1：

設(shè)直線AP₁交y軸于點(diǎn)E（0，-1），
把直線BC向下平移2個單位，交拋物線于點(diǎn)P₂，P₃，
得直線P₂P₃的解析式為y=x-5，
解方程組

y=x-5 y=-x2+4x-3

，
得

x1= 3+ 17 2 y1= -7+ 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -7- 17 2

，
∴P₂（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

），P₃（

3- 17

2

，

-7- 17

2

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（2，1），P₂（

3+ 17

2

，

-7+ 17

2

），P₃（

3- 17

2

，

-7- 17

2

），

②∵B（3，0），C（0，-3）
∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°
設(shè)直線CP的解析式為y=kx-3
如圖2，延長CP交x軸于點(diǎn)Q，
設(shè)∠OCA=α，則∠ACB=45°-α，
∵∠PCB=∠BCA，∴∠PCB=45°-α，
∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α，
∴∠OCA=∠OQC
又∵∠AOC=∠COQ=90°
∴Rt△AOC∽Rt△COQ
∴

OA

OC

=

OC

OQ

，∴

1

3

=

3

OQ

，
∴OQ=9，∴Q（9，0）
∵直線CP過點(diǎn)Q（9，0），∴9k-3=0
∴k=

1

3

∴直線CP的解析式為y=

1

3

x-3．
其它方法略．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)，判斷三角形的特殊性，利用平移，相似的知識解題．