Question

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線 經(jīng)過點A和點C，對稱軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個交點為B．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo)；

（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；

（2）P點坐標(biāo)為（﹣1，2）；

（3）M點坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的交點式可求此拋物線的解析式；

（2）直線BC與對稱軸直線l：x=﹣1的交點即為所求使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo)；

（3）討論：當(dāng)以AB為對角線，利用NA=MB和四邊形ANBM為平行四邊形，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標(biāo)；當(dāng)以AB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AB=4，則可確定M的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標(biāo)．

試題解析：（1）直線y=﹣3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，

當(dāng)y=0時，﹣3x+3=0，解得x=1，

則A點坐標(biāo)為（1，0）；

當(dāng)x=0時，y=3，

則C點坐標(biāo)為（0，3）；

拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

則B點坐標(biāo)為（﹣3，0）；

把C（0，3）代入y=a（x﹣1）（x+3）得3=﹣3a，

解得a=﹣1，

則此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；

（2）連接BC，交對稱軸于點P，如圖1，

設(shè)直線BC的關(guān)系式為：y=mx+n，

把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得，

解得，

∴直線bC的關(guān)系式為y=x+3，

當(dāng)x=﹣1時，y=﹣1+3=2，

∴P點坐標(biāo)為（﹣1，2）；

（3）當(dāng)以AB為對角線，如圖2，

∵四邊形AMBN為平行四邊形，

A點橫坐標(biāo)為1，N點橫坐標(biāo)為0，B點橫坐標(biāo)為﹣3，

∴M點橫坐標(biāo)為﹣2，

∴M點縱坐標(biāo)為y=﹣4+4+3=3，

∴M點坐標(biāo)為（﹣2，3）；

當(dāng)以AB為邊時，如圖3，

∵四邊形ABMN為平行四邊形，

∴MN=AB=4，即M1N=4，M2N=4，

∴F1的橫坐標(biāo)為﹣4，F(xiàn)2的橫坐標(biāo)為4，

對于y=﹣x2﹣2x+3，

當(dāng)x=﹣4時，y=﹣16+8+3=﹣5；

當(dāng)x=4時，y=﹣16﹣8+3=﹣21，

∴M點坐標(biāo)為（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

綜上所述，M點坐標(biāo)為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

考點：二次函數(shù)綜合題．