Question

16．過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N，作點P關于MN的對稱點P′．試證：P′點在△ABC外接圓上，且P′B：P′C=BP：PC．

Answer 1

分析 根據(jù)平行得到的同位角相等可得PM=BM，利用軸對稱的選擇可得PM=P′M，同理可得NP′=NP=NC，那么點M是△P′BP的外心，點N是△P′PC的外心，進而證明∠BP′C=∠BAC，可得P′點在△ABC外接圓上，根據(jù)圓周角定理得到P′P平分∠BP′C，然后根據(jù)三角形角平分線定理即可得到結(jié)論．

解答 解：連接P′M，P′N，PP′，
∵點P關于MN的對稱點為P′．
∴MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，
∴點M是△P′BP的外心，點N是△P′PC的外心，
∴∠BP′P=$\frac{1}{2}$∠BMP=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠PP′C=$\frac{1}{2}$∠PNC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC．
從而，P′點與A，B，C共圓，
即P′在△ABC外接圓上；
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴∠MPB=∠ABC=∠NPC=∠ACB=60°，
∴△PBM與△PCN是等邊三角形．
∴∠BMP=∠CNP=60°，
∴∠BP′P=∠CP′P=30°，
∴P′P平分∠BP′C，
∴P′B：P′C=BP：PC．

點評 本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形的角平分線定理，四點共圓，熟練掌握三角形的角平分線定理是解題的關鍵．