Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DB=DC，∠DCB=30°，點(diǎn)E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE=AB．

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖4．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，

∴∠ABC=∠ACB==75°．

∵DB=DC，∠DCB=30°，

∴∠DBC=∠DCB=30°．

∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．

∵AB=AC，DB=DC，

∴AD所在直線垂直平分BC．

∴AD平分∠BAC．

∴∠2=∠BAC==15°． ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．  

證明：（2）證法一：取BE的中點(diǎn)N，連接AN．（如圖5）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，

∴△ADM為等邊三角形． 

∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點(diǎn)，

∴BN=NE，且AN⊥BE．

∴DN=NM． 

∴BN－DN =NE－NM，

即 BD=ME．

∵DB=DC，

∴ME = DC．

證法二：如圖6．

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，

∴△ADM為等邊三角形．

∴∠3=60°．

∵AE=AB，

∴∠E=∠1=45°．

∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．

∴∠2=∠4．

在△ABD和△AEM中，

∴△ABD≌△AEM．

∴BD =EM．

∵DB = DC，

∴ME = DC． 

【解析】此題考查了三角形的性質(zhì)