Question

15．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是邊的中點(diǎn)，AH⊥BD，垂足為H，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠ADB=∠CDE；
（2）若AB=2，求△CDE的面積．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥AC，交AE于G，先證明△ABD與△AGC全等得到∠G=∠BDA，再證明△CED≌△CEG得到∠G=∠EDC，由此可以得出結(jié)論．
（2）由AD=DC得到S_△ADE=S_△CDE，由△DCE≌△GCE得到S_△CED=S_△CEG，再求出△ACG的面積即可．

解答 證明：（1）作CG⊥AC，交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，
∵∠BAC=90°，AH⊥BD，
∴∠DAH+∠ADB=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠DAH，且AB=AC，∠BAC=∠ACG=90°，
在△ABD與△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DAH}\\{∠AHB=∠AGC=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAG（AAS），
∴AD=CG，∠G=∠BDA，
∵D是中點(diǎn)，
∴AD=DC，
∴DC=CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵∠ACG=90°，
∴∠ACB=∠BCG=45°，
在△DCE與△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}\\{∠DCE=∠ECG}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠G=∠EDC，
∴∠BDA=∠EDC．
（2）∵AB=AC=2，D是AC中點(diǎn)，
∴AD=CD=CG=1，
∵△DCE≌△GCE，
∴S_△ADE=S_△DEC=S_△ECG=$\frac{1}{3}$S_△ACG，
∵S_△ACG=$\frac{1}{2}$•AC•CG=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
∴S_△CDE=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、以及面積問(wèn)題等知識(shí)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．