Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥BC于F，交AB于E．求證：△ADE是等腰三角形．

Answer 1

證明：
證法一：
過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥BC，
∴AG∥DF，
∴∠1=∠AED，∠2=∠D，
∴∠AED=∠D，
∴AE=AD，
即△ADE是等腰三角形；
證法二：
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角），
∵DF⊥BC于F，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BEF=90°，
∴∠D=∠BEF（等角的余角相等），
又∵∠BEF=∠AED（對(duì)頂角相等），
∴∠D=∠AED（等量代換），
∴AD=AE（等角對(duì)等邊）
∴△ADE是等腰三角形．
分析：證法一：過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，由于AB=AC，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可知∠1=∠2，而據(jù)圖易證DF∥AG，再利用平行線的性質(zhì)可得∠1=∠AED，∠2=∠D，等量代換可得∠AED=∠D，于是AD=AE，即可證；
證法二：據(jù)圖易知∠ADE=90°-∠C，∠BEF=90°-∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠ADE=∠BEF，又∠AED和∠BEF是對(duì)頂角，易得∠D=∠AED，從而有AD=AE，易證之．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明∠D=∠AED，注意等邊對(duì)等角，以及等角對(duì)等邊的使用．