Question

如果一個等腰三角形兩腰上的中線互相垂直，其中底邊為4，那么這個三角形的面積是

 

．

Answer 1

考點：三角形的重心,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：BE和CD為等腰三角形ABC腰上的中線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BE=CD，根據(jù)重心的定義得點O為△ABC的重心，于是根據(jù)重心的性質(zhì)得到OB=

2

3

BE，OC=

2

3

CD，得到OB=OC，在判斷△OBC為等腰直角三角形，則可計算出OB=OC=

2

2

BC=2

2

，接著可計算出S_△OBC=4，根據(jù)三角形面積公式，利用BE=

3

2

BO得到S_△BCE=

3

2

S_△OBC=6，然后利用AE=CE得到S_△ABC=2S_△BCE=12．

解答：解：∵BE和CD為等腰三角形ABC腰上的中線，
∴BE=CD，點O為△ABC的重心，
∴OB=

2

3

BE，OC=

2

3

CD，
∴OB=OC，
∵BE⊥CD，
∴△OBC為等腰直角三角形，
∴OB=OC=

2

2

BC=

2

2

•4=2

2

，
∴S_△OBC=

1

2

•2

2

•2

2

=4，
∴S_△BCE=

3

2

S_△OBC=6，
∵AE=CE，
∴S_△ABC=2S_△BCE=12．
故答案為12．

點評：本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．