Question

已知，正方形ABCD的邊長為4，點E在直線CD上，CE=2，點P在邊AC上，且PB⊥PE，則PC的長為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：過點P作PF⊥BC于F，作PG⊥CD于G，判斷出四邊形PFCG是正方形，根據(jù)正方形的性質可得PF=PG，∠FPG=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BPF=∠EPG，然后利用“角邊角”證明△BPF和△EPG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BF=EG，設FC=x，表示出BF，再CG列出方程求解得到FC，然后根據(jù)正方形的對角線等于邊長的

2

倍計算即可得解．

解答：解：如圖，過點P作PF⊥BC于F，作PG⊥CD于G，
∵點P在邊AC上，
∴四邊形PFCG是正方形，
∴PF=PG，∠FPG=90°，
∴∠EPG+∠EPF=90°，
∵PB⊥PE，
∴∠BPF+∠PF=90°，
∴∠BPF=∠EPG，
在△BPF和△EPG中，

∠BPF=∠EPG PF=PG ∠PFB=∠PGE

，
∴△BPF≌△EPG（ASA），
∴BF=EG，
設FC=x，
∵正方形ABCD的邊長為4，
∴BF=4-x，
∵CE=2，
∴CG=2+（4-x）=x，
解得x=3，
∴FC=

2

FC=3

2

．
故答案為：3

2

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，難點在于作出輔助線構造成全等三角形并根據(jù)CG的長度列出方程．