Question

（2004•淮安）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+5的圖象交x軸于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A．（如圖①）
（1）以0、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含k的代數(shù)式表示）
（2）若以0、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形為矩形，求k的值；（圖②備用）
（3）將（2）中的矩形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在坐標(biāo)軸的正半軸上，求所得矩形與原矩形重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意兩直線交于點(diǎn)A，利用方程求出A點(diǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線的交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形，首先要找到垂直關(guān)系，由題意及圖形幾何關(guān)系只有當(dāng)0A⊥AB時(shí)才滿足題意，從而根據(jù)垂直條件求出k值；
（3）利用（2）的結(jié)論，由題意中的矩形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在坐標(biāo)軸的正半軸上，分兩種情況在y軸正半軸上或在x軸正半軸上，根據(jù)幾何關(guān)系易求重疊部分的面積．
解答：解：（1），
解得A，
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，OB為另一條對(duì)角線，由平行四邊形的性質(zhì)，OB的中點(diǎn)即為AC的中點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，
從而解得C點(diǎn)坐標(biāo)記為：C₃（，），
同理可得：當(dāng)0C為對(duì)角線時(shí)：C₁（，），

當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)：C₂（，）；

（2）點(diǎn)B（10，0）、D（0，5），
若以0、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形為矩形，由題設(shè)可知，只有當(dāng)0A⊥AB時(shí)□OCBA為矩形如圖①，作AE⊥OB于E，
由△OAE∽△DBO得，，所以，
解得k=2．

（3）當(dāng)k=2時(shí)，A（2，4），則OA=2，AB=4，
①如圖②-1，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的正半軸上點(diǎn)A′處，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸上點(diǎn)C處，
BC邊旋轉(zhuǎn)到B′C′位置，并與直線BD相交于點(diǎn)F，C′（4，0），F(xiàn)（4，5-2），
所以S_陰影=S_△OAB-S_△BC′F=20-25．
②如圖②-2，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸上點(diǎn)A′處，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上點(diǎn)C處，
AB邊旋轉(zhuǎn)到A′B′位置，并與邊OC相交于點(diǎn)G（2，），OA′=OC，A′G=BC，
所以S_陰影=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，還考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì)，還間接考查思維的嚴(yán)密性，學(xué)會(huì)分類討論，不要漏掉其他情況．