Question

如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，BD是直徑，DA是△BCD外角的平分線．AE⊥CD交CD的延長線于E．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若tan∠DBC=

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，DE=1cm，求BD的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OA，由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由DA為角平分線得到一對角相等，等量代換可得出一對內(nèi)錯角相等，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，得到OA與ED平行，根據(jù)兩直線平行得到同旁內(nèi)角互補，再由AE垂直于ED，得到∠AED為直角，可得出∠OAE為直角，即AE垂直于OA，即可得到AE為圓O的切線，得證；
（2）由BD為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得到∠BAD及∠C都為直角，在直角三角形BDC中，由∠DBC的度數(shù)，求出∠BDC的度數(shù)，再由鄰補角定義及DA為角平分線，求出∠ADE的度數(shù)，在直角三角形AED中，求出∠EAD為30°，由ED的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AD=2ED，求出AD的長，再由∠BDA的度數(shù)，求出∠ABD的度數(shù)為30°，由AD的長，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2AD，即可求出BD的長．

解答：（1）證明：連接OA．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE．
∴OA∥DE，
∴∠OAE+∠AED=180°，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠OAE=90°，即AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切線；

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BCD=∠BAD=90°．
∵tan∠DBC=

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，
∴∠DBC=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°
∴∠ADB=∠ADE=60°，
∴∠DAE=30°，又∠AED=90°，
∴AD=2DE=2cm，
在△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4cm．

點評：此題考查了切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，其中判定切線的方法有兩種：有點連接圓心與此點，證明直線與連線垂直；無點過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．