Question

某商場在一樓至二樓間安裝了一部自動扶梯，以勻速向上行駛．甲、乙兩同學同時從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動的級數(shù)是乙的兩倍．已知甲走了24級到扶梯頂部，乙走了16級到扶梯頂部（甲、乙兩同學每次只跨一級臺階）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少級？
（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺階數(shù)與扶梯級數(shù)相同，甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計，問甲第1次追上乙時是在扶梯上還是在樓梯上？他已經(jīng)走動的級數(shù)是多少級？

Answer 1

分析：（1）如果扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數(shù)為a級，則甲每分鐘走動的級數(shù)為2a級，扶梯每分鐘向上運動b級．題中有兩個等量關系，甲走24級的時間等于扶梯走（2a+b）級的時間；乙走16級的時間等于扶梯走（a+b）級的時間，據(jù)此列出方程組，求出x的值即可；
（2）如果設甲第一次追上乙時走過自動扶梯m遍，走過樓梯n遍，那么乙走過自動扶梯（m-1）遍、走過樓梯（n-1）遍．根據(jù)兩人所走的時間相等，列出方程．將（1）中求得的y與x的關系式y(tǒng)=2x代入，可得6n+m=16．由已知條件可知m、n中一定有一個是正整數(shù)，且0≤m-n≤1．通過試驗可以求出m，n的具體值，進而求出結果．

解答：解：（1）設扶梯露在外面的部分有x級，乙每分鐘走動的級數(shù)為a級，則甲每分鐘走動的級數(shù)為2a級，扶梯每分鐘向上運動b級．
由題意得：

24 2a = x 2a+b ① 16 a = x a+b ②

，
①÷②得：

3

4

=

a+b

2a+b

，
整理得：b=2a，
代入②得x=48．
答：扶梯露在外面的部分有48級；
（2）設追上乙時，甲扶梯走了m遍，樓梯走了n遍，則乙走扶梯（m-1）遍，走樓梯（n-1）遍．
由題意得：

48m

4a

+

48n

2a

=

48(m-1)

3a

+

48(n-1)

a

，
整理得：m+6n=16，
這里m，n中必有一個是整數(shù)，且0≤m-n≤1．
①若m為整數(shù)，則n=

16-m

6

，∴

m=1 n= 5 2

（不合，舍去），

m=2 n= 7 3

（不合，舍去）

m=3 n= 13 6

（符合條件）

m=4 n=2

（不合，舍去）

m=5 n= 11 6

（不合，以后均不合，舍去）
②若n為整數(shù)，m=16-6n，∴

n=1 m=10

，

n=2 m=4

，

n=3 m=-2

…，這些均不符合要求，∴

m=3 n= 13 6

，此時，甲在樓梯上．
他已走動的級數(shù)是(

48m

4a

+

48n

2a

)×2a=24m+48n=72+104=176（級）．

點評：本題考查分式方程在行程問題中的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．本題屬于競賽題型，有一定難度．難點在于自動扶梯在上升，具有一定的速度，同時甲、乙也在上樓梯，變化量較多．解題時要善于抓住不變量，只有不變量才是列方程的依據(jù)．另外，本題求解時設的未知數(shù)x、y，只設不求，這種方法在解復雜的應用題時常用來幫助分析數(shù)量關系，便于解題．