Question

設(shè)點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，線段DE和AF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ∥PC．
（1）證明：PC=2AQ．
（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明．

Answer 1

分析：（1）延長DE，CB，相交于點(diǎn)R，作BM∥PC，交DR于點(diǎn)M．根據(jù)題意得∠AQE=∠EMB，可證得△AEQ≌△BEM，△AED≌△BER．則AD=BR=BC，再根據(jù)BM∥PC，證出RBM∽△RCP，即可得出PC=2AQ．
（2）作BN∥AF，交RD于點(diǎn)N，則△RBN∽△RFP．則

BN

PF

=

RB

RF

=

2

3

．還可證明△BNE≌△APE．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S_△PFC=S_梯形APCQ．

解答：（1）證明：
證法一：延長DE，CB，相交于點(diǎn)R，作BM∥PC，交DR于點(diǎn)M．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中點(diǎn)，D、E、R三點(diǎn)共線，∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△BER．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，相似比是1：2．
∴PC=2MB=2AQ．

證法二：連接AC，交PQ于點(diǎn)K，易證△AKE∽△CKD，
∴

AE

DC

=

AK

KC

=

1

2

．
∵AQ∥PC．
∴△AKQ∽△CKP．
∵

AK

KC

=

1

2

，
∴

AQ

PC

=

1

2

，
即PC=2AQ．

（2）解：S_△PFC=S_梯形APCQ．
作BN∥AF，交RD于點(diǎn)N．
∴△RBN∽△RFP．
∵△RBM∽△RCP，相似比是1：2，
∴RB：RC=1：2，即B為RC的中點(diǎn)，
∴RB=BC，又F是BC的中點(diǎn)，
∴RB=

2

3

RF．
∴

BN

PF

=

RB

RF

=

2

3

．
易證△BNE≌△APE．
∴AP=BN．
∴AP=

2

3

PF．
因PFC（視PC為底）與梯形APCQ的高的比等于△PFC與△PQC中PC邊上的高的比，
易知等于PF與AP的比，于是可設(shè)△PFC中PC邊上的高h(yuǎn)₁=3k，梯形APCQ的高h(yuǎn)₂=2k．再設(shè)AQ=a，則PC=2a．
∴S△PFC=

1

2

×2ah1=3ka，
S梯形APCQ=

1

2

(AQ+PC)h2=

1

2

(a+2a)•2k=3ka．
因此S_△PFC=S_梯形APCQ．

點(diǎn)評：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形和梯形的性質(zhì)，難度較大．