Question

【題目】綜合題
（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．

（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°﹣∠DCB =∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°
（2）解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
∴CA=CB，CD=CE．
且∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM
【解析】（1） 抓住已知條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，得出CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，觀察圖形證明∠ACD =∠BCE，再利用SAS證明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，然后求出∠ADC的度數(shù)，就可得出∠BEC的度數(shù)，利用∠AEB=∠BEC﹣∠CED，得出結(jié)果即可。
（2）根據(jù)已知易證△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證出AD=BE，∠ADC=∠BEC．再求出∠ADC、∠BEC的度數(shù)，去證明∠AEB是直角，然后證明DM=ME=CM，就可證得線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系。