Question

2．如圖，已知∠BDA=45°，BD=4，AD=3，且三角形ABC是等腰直角三角形，則CD=$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 直接求CD的長并不好入手，于是想到轉(zhuǎn)化，由于三角形ABC是等腰直角三角形，因此可將三角形ADC順時針旋轉(zhuǎn)90度得到三角形AEB，然后利用勾股定理求出BE即可．

解答 解答：如圖，作DE⊥BD，AE⊥AD，DE與AE交于點E，

∵DE⊥BD，∠BDA=45°，
∴∠ADE=45°
又∵AE⊥DE，
∴△ADE為等腰直角三角形．
∴AE=AD=3，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△DAC  （SAS），
∴BE=CD，
在Rt△AED中，DE²=AE²+AD²，DE=$3\sqrt{2}$
在Rt△BED中，BE²=BD²+DE²，BE=$\sqrt{34}$
∴CD=BE=$\sqrt{34}$
故答案為$\sqrt{34}$．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，難度較大．本題體現(xiàn)了一經(jīng)典模型，即兩個等腰直角三角形的直角頂點相同時，會有“旋轉(zhuǎn)型”全等，這一模型經(jīng)常出現(xiàn)在各大考題中，要引起重視．