Question

已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與A、B重合），過點C作⊙O的切線CD，過A作CD的垂線，垂足是M點．
（1）如圖1，若CD∥AB，求證：AM是⊙O的切線．
（2）如圖2，若AB=6，AM=4，求AC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由CD是⊙O的切線，得出OC⊥CD，∠OCM=90°．再由CD∥AB，得出∠OCM+∠COA=180°．又知AM⊥CD，得到∠AMC=90°．在四邊形OAMC中∠OAM=90°．又知OA為⊙O的半徑，從而得到AM是⊙O的切線．
（2）連接OC，BC．因為CD是⊙O的切線，所以OC⊥CD，∠OCM=90°．再由AM⊥CD，得到∠AMC=90°，OC∥AM，∠1=∠2．然后由OA=OC，得出∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．又因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，證得△BAC∽△CAM．所以．即AC²=AB•AM=24．從而解得．
解答：解：（1）證明：連接OC．
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD．∴∠OCM=90°．
∵CD∥AB，
∴∠OCM+∠COA=180°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴在四邊形OAMC中∠OAM=90°．
∵OA為⊙O的半徑，
∴AM是⊙O的切線．

（2）連接OC，BC．
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD．
∴∠OCM=90°．
∵AM⊥CD，
∴∠AMC=90°．
∴OC∥AM．
∴∠1=∠3．
∵OA=OC，
∴∠3=∠2．即∠BAC=∠CAM．
易知∠ACB=90°，
∴△BAC∽△CAM．
∴．
即AC²=AB•AM=24．
∴．
點評：本題考查了切線的判斷與性質以及相似三角形的判定和性質，此題難度適中，但比較繁瑣，一定要細心才行，不然很容易出錯．