Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC，AC且BD＝CE，AD、BE相交于點M，

求證：（1）△AME∽△BAE；（2）BD2＝AD×DM．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出AB＝BC、∠ABD＝∠C，結(jié)合BD＝CE即可證出△ABD≌△BCE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠CBE＝∠BAD，通過角的計算可得出∠EAM＝∠EBA，再結(jié)合∠AEM＝∠BEA即可證出△AME∽△BAE；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠AME＝∠BAE＝60°，由對頂角相等可得出∠BMD＝60°，再結(jié)合∠ABD＝60°、∠BDM＝∠ADB，即可證出△ABD∽△BMD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證出BD2＝AD×DM．

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°．

在△ABD和△BCE中，，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE＝∠BAD，

∴∠EAM＝∠EBA．

又∵∠AEM＝∠BEA，

∴△AME∽△BAE．

（2）∵△AME∽△BAE，

∴∠AME＝∠BAE＝60°，

∴∠BMD＝60°．

又∵∠ABD＝60°，∠BDM＝∠ADB，

∴△ABD∽△BMD，

∴BD2＝AD×DM．