3.如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,點(diǎn)F在DC上,且∠BEF=∠A.
(1)∠BEF=180°-2α(用含α的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)AB=AD時(shí),猜想線段EB、EF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

分析 (1)由梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,根據(jù)平行線的性質(zhì),易求得∠A的度數(shù),又由∠BEF=∠A,即可求得∠BEF的度數(shù);
(2)首先連接BD交EF于點(diǎn)O,連接BF,由AB=AD,易證得△EOB∽△DOF,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可得$\frac{OE}{OD}$=$\frac{OB}{OF}$,繼而可證得△EOD∽△BOF,又由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,易得∠EBF=∠EFB=α,即可得EB=EF.

解答 (1)解:∵梯形ABCD中,AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,
又∵∠BEF=∠A,
∴∠BEF=∠A=180°-2α;
故答案為:180°-2α;
(2)EB=EF.證明:連接BD交EF于點(diǎn)O,連接BF.



∵AD∥BC,
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α,∠ADC=180°-∠C=180°-α.
∵AB=AD,
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=α,
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α,
由(1)得:∠BEF=180°-2α=∠BDC,
又∵∠EOB=∠DOF,
∴△EOB∽△DOF,
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OB}{OF}$,
即$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OF}$,
∵∠EOD=∠BOF,
∴△EOD∽△BOF,
∴∠EFB=∠EDO=α,
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB,
∴EB=EF.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
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A.$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$或$-\frac{1}{3}$C.$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$D.$\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{3}$

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8.觀察下列等式:$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得:$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
(1)按照一定規(guī)律排列式子:$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…,其中第n項(xiàng)(n為正整數(shù))的形式為$\frac{1}{n(n+1)}$,按照材料中的寫法,該項(xiàng)可表示為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$.
(2)直接寫出下式:$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$的計(jì)算結(jié)果為$\frac{2009}{2010}$.
(3)探究并計(jì)算:$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{2n×2(n+1)}$(其中n為正整數(shù)).

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