Question

如圖所示，△ABC中，點D是AC邊上的一個動點，過O點作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交相鄰?fù)饨堑钠椒志�于點F．

(1)求證：EO＝FO；

(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：∵MN∥BC 　　∴∠1＝∠3，∠4＝∠6 　　又∵∠l＝∠2，∠4＝∠5 　　∴∠2＝∠3，∠5＝∠6 　　∴OE＝OC，OF＝OC 　　∴OE＝OF 　　(2)當(dāng)點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形． 　　證明：由(1)知OE＝OF，又OA＝OC 　　∴四邊形AECF是平行四邊形 　　∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1＋∠2＋∠5＋∠4＝180° 　　∴∠2＋∠5＝90°，即∠ECF＝90° 　　∴平行四邊形AECF是矩形 　　分析：(1)由已知易證∠ECF＝90°，所以EF是Rt△EFC的斜邊，要證明EO＝FO，如果能分別證出它們和OC相等，問題就得到解決． 　　(2)因為不論點O在AC上怎樣運動，易證∠ECF總為直角，所以只要當(dāng)四邊形AECF是平行四邊形時就是矩形．由(1)知OE＝OF總能成立，根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”這個定理，當(dāng)OA＝OC時，四邊形AECF是平行四邊形，也就是矩形，即當(dāng)點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形． 　　平行四邊形和矩形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵，應(yīng)注意這些知識的靈活運用．