Question

如圖，已知拋物線y=-

1

4

x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，已知A點的坐標(biāo)為A（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸；
（2）平移拋物線的對稱軸所在直線l，它在第一象限與拋物線相交于點M，與直線BC相交于點N，當(dāng)l移動到何處時，線段MN的長度最大？最大值是多少？
（3）在x軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經(jīng)過點A（-2，0），由待定系數(shù)法即可得到拋物線的解析式，進一步得到它的對稱軸；
（2）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特征，可求B（8，0），C（0，4），再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，再根據(jù)兩點間的距離公式得到MN=(-

1

4

x2+

3

2

x+4)-(-

1

2

x+4)=-

1

4

x2+2x=-

1

4

(x-4)2+4，再配方即可得到線段MN的長度取最大值時l移動的情況；
（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進行討論即可求解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x2+bx+4經(jīng)過點A（-2，0），
∴-

1

4

×(-2)2-2b+4=4，
解得b=

3

2

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x2+

3

2

x+4，
對稱軸x=-

3 2

2×(- 1 4 )

=3；

（2）當(dāng)x=0時，y=4，
∴C（0，4），
當(dāng)y=0時，-

1

4

x2+

3

2

x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
∴A（-2，0），B（8，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，它經(jīng)過B（8，0），C（0，4）
則

n=4 8m+n=0

，
解得

m=- 1 2 n=4

，
∴直線BC為y=-

1

2

x+4，
∴MN=(-

1

4

x2+

3

2

x+4)-(-

1

2

x+4)=-

1

4

x2+2x=-

1

4

(x-4)2+4
∴當(dāng)x=4時，MN的最大值為4
即當(dāng)對稱軸移至（4，0）時，MN的長度最大，最大值是4．   

（3）設(shè)在x軸上存在點Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：
①如果QA=QC，那么（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，
則點Q₁（3，0）；
②如果CA=CQ，那么2²+4²=x²+4²，
解得x₁=2，x₂=-2（不合題意舍去），
則點Q₂（2，0）；
③如果AC=AQ，那么2²+4²=（x+2）²，
解得x₁=2

5

-2，x₂=-2

5

-2，
則點Q₃（2

5

-2，0），Q₄（-2

5

-2，0）；
綜上所述存在點Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標(biāo)為：Q₁（3，0），Q₂（2，0），Q₃（2

5

-2，0），Q₄（-2

5

-2，0）．

點評：此題考查了拋物線解析式的確定、直線解析式的確定、兩點間的距離公式、函數(shù)最值的求法等重要知識點，（3）小題用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．