Question

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°．
（l）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若CD=，求扇形0AC的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明CD是⊙O的切線，即證明OC⊥CD．連接OC，由AC=CD，∠D=30°，則∠A=∠D=30°，得到∠COD=60°，所以∠OCD=90°；
（2）由（1）得△OCD是直角三角形，由特殊角的三角函數(shù)求出圓的半徑再代入扇形的面積公式即可求出扇形0AC的面積．
解答：（1）證明：連接OC，
∵AC=CD，且∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠COD=∠ACO+∠A=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴DC是⊙O的切線；

（2）由（1）得△OCD是直角三角形，
∵在Rt△OCD中，CD=3，∠D=30°，
∴OC=CD tan30°=3×=3，
∴S_扇形OAC=．
點評：本題考查了圓的切線的判定方法和扇形的面積公式．經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．當已知直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個點，證明這個連線與已知直線垂直即可；當沒告訴直線過圓上一點，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．