Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=-x-4分別交x軸、y軸于A，B，交雙曲線y=

k

x

（x＜0）于M，連OM，且S_△OBM=16．
（1）求k的值．
（2）過M作MN⊥y軸于N，在直線AB上是否存在點E，使OEN的周長最�。咳舸嬖�，求E點的坐標；否則說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，P為雙曲線上一動點，點Q為PB上一點，且AQ=AB，連MQ，NQ，求證：BQ-MQ=

2

NQ．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,四點共圓,線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,軸對稱的性質(zhì),平行線分線段成比例

專題：壓軸題

分析：（1）過M作MN⊥y軸于N，只需根據(jù)條件求出點M的坐標，就可解決問題；
（2）作點O關(guān)于直線AB的對稱點O′，連接NO′，與直線AB交于點E，連接OE，根據(jù)兩點之間線段最短可得此時△OEN的周長最小，然后只需依次求出點O′的坐標、直線O′N的解析式、直線O′N與直線AB的交點，就可解決問題；
（3）易證M、Q、N、B四點共圓，從而得到∠NQB=∠NMB=45°．過點N作NT⊥NQ交QB于T，如圖②，則有∠NTQ=45°=∠NQB，由此可得NQ=NT，QT=

2

NQ，易證△QNM≌△TNB，則有QM=TB，就可得到QB-QM=QB-TB=QT=

2

NQ．

解答：解：（1）過M作MN⊥y軸于N，如圖①，
∵直線y=-x-4分別交x軸、y軸于A、B，
∴當x=0時，y=-4，點B（0，-4）；
當y=0時，x=-4，點A（-4，0）．
∵S_△OBM=

1

2

OB•MN=

1

2

×4×MN=16，
∴MN=8，
∵點M在雙曲線y=

k

x

（x＜0）上，
∴點M的坐標為（-8，4），k=-8×4=-32；

（2）作點O關(guān)于直線AB的對稱點O′，連接NO′，與直線AB交于點E，連接OE，如圖①，
則有BO′=BO=4，∠O′BA=∠OBA．
根據(jù)兩點之間線段最短可得此時△OEN的周長最�。�
∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°，
∴∠O′BA=∠OBA=45°，
∴∠O′BO=90°，
∴點O′的坐標為（-4，-4），
設(shè)直線O′N的解析式為y=kx+4，
把O′（-4，-4）代入y=kx+4得，
∴-4k+4=-4，
∴k=2，
∴直線O′N的解析式為y=2x+4，
解

y=2x+4 y=-x-4

得，

x=- 8 3 y=- 4 3

，
∴點E的坐標為（-

8

3

，-

4

3

）；

（3）連接AN，過點N作NT⊥NQ交QB于T，如圖②，
∵∠AOB=∠MNB=90°，
∴AO∥MN，
∴

BA

AM

=

BO

ON

=1，
∴BA=AM，
∴AN=AB=AM．
∵AQ=AB，
∴AM=AQ=AN=AB，
∴M、Q、N、B四點共圓，
∴∠NQB=∠NMB．
∵MN=BN，∠MNB=90°，
∴∠NMB=∠NBM=45°，
∴∠NQB=45°．
∴∠NTQ=45°=∠NQB，
∴NQ=NT，QT=

2

NQ．
∵∠QNT=∠MNB=90°，
∴∠QNM=∠TNB．
在△QNM和△TNB中，

NQ=NT ∠QNM=∠TNB NM=NB

，
∴△QNM≌△TNB，
∴QM=TB，
∴QB-QM=QB-TB=QT=

2

NQ．

點評：本題主要考查了直線上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、平行線分線段成比例、四點共圓的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短、軸對稱性等知識，綜合性比較強，有一定的難度，證到∠NQB=45°并由此構(gòu)造全等三角形是解決第（3）小題的關(guān)鍵．