Question

6．已知正方形ABCD中，AB=6，點E為AD的中點，連接BE，直線BE繞點E旋轉(zhuǎn)45°，旋轉(zhuǎn)后的直線與直線BD相交于點F，則線段DF的長為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)順時針旋轉(zhuǎn)、逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情形討論，利用△EFH和△BEA相似解決問題．

解答 解：情形1：設(shè)直線BE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線B′E（如圖1），EH⊥BD于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=6，∠ADB=45°，
∵$AE=ED=\frac{1}{2}AD$=3，
在RT△EHD中，∵ED=3，∠EDH=45°，
∴EH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠AEF=∠EFD+∠ADB，∠BEB′=∠ADB=45°，
∴∠AEB=∠EFH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△ABE∽△HEF，
∴$\frac{FH}{AE}=\frac{EH}{AB}$，
∴$\frac{FH}{3}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{6}$，
∴FH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴DF=FH+DH=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
情形2：設(shè)直線BE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線B′E（如圖：2），EH⊥BD于H，
∵∠BEB′=∠DEH=45°，∠AEB′=∠FED，
∴∠AEB=∠FEH，
∵∠A=∠EHF=90°，
∴△ABE∽△HFE，
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{BA}{FH}$，
∴$\frac{3}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{6}{FH}$，
∴FH=3$\sqrt{2}$，
∴DF=FH-DH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．