Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+

5

2

與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象相交于A（a，2），B（-4，n）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，所得方程組的解即為A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．由于△OAB的邊不在坐標(biāo)軸上，因此可用其他圖形面積的和差來求出△AOB的面積．

解答：解：（1）根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，n）
將A點(diǎn)的坐標(biāo)（a，2）代入y=kx+

5

2

和y=

m

x

得：

ka+ 5 2 =2 m a =2

得到，mk=-1  ①
將B點(diǎn)的坐標(biāo)（-4，n） 代入y=kx+

5

2

和y=

m

x

得：n=-4k+

5

2

n=

m

-4

整理得：m=16k-10 ②
將②代入 ①
得：k（16k-10）=-1
所以16k²-10k+1=0
（8k-1）（2k-1）=0
得k=

1

8

，k=

1

2

分別驗(yàn)證：將k=

1

8

代入①，
得m=-8所以a=-4，n=2
此時(shí)A、B坐標(biāo)相同，不合題意
將k=

1

2

代入 ①，
得m=-2所以a=-1，n=

1

2

，
點(diǎn)A（-1，2），B（-4，

1

2

），
所以一次函數(shù)是：y=

x

2

+

5

2

反比例函數(shù)是：y=-

2

x

．
（2）分別過點(diǎn)A，B作x軸，y軸的垂線，交于點(diǎn)F，分別交x，y軸于點(diǎn)D、E，如圖，
S_矩形ODFE=4×2=8，
S_△ABF=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
S_△OBD=

1

2

×

1

2

×4=1，
S_△AOE=

1

2

×1×2=1，
S_△AOB=S_矩形ODFE-S_△ABF-S_△OBD-S_△AOE=

15

4

，
所以△AOB的面積

15

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．本題難度較大，利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的知識求三角形的面積，因?yàn)椤鰽OB的邊都不在坐標(biāo)軸上，所以直接利用三角形的面積計(jì)算公式來求這個(gè)三角形的面積比較煩瑣，也比較難，因此需要將這個(gè)三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有一邊在坐標(biāo)上的三角形來求面積．本題也可以利用上面的方法來求△AOB的面積．