Question

如圖，在△ABC中，∠A=50°，AB＞AC，D、E分別在AB、AC上，且BD=CE，BE、CD相交于O點，∠BCD=∠EBC，M為BE上一點，∠OCM=∠OBD．  
（1）求證：CM=CE；
（2）求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先求出∠BCM=∠CBD，然后利用“ASA”證明△BCM和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CM，再根據(jù)BD=CE即可得證；
（2）設(shè)∠ABE=x，∠EBC=y，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠CEM，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等表示出∠ECM，然后在△ABC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算求出y，在△OBC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式進行計算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠BCD=∠EBC，∠OCM=∠OBD，
∴∠BCD+∠OCM=∠EBC+∠OBD，
即∠BCM=∠CBD，
在△BCM和△CBD中，

∠BCM=∠CBD BC=BC ∠BCD=∠EBC

，
∴△BCM≌△CBD（ASA），
∴BD=CM，
∵BD=CE，
∴CM=CE；

（2）解：設(shè)∠ABE=x，∠EBC=y，
∵∠A=50°，
∴∠CEM=∠ABE+∠A=x+50°，
∴∠ECM=180°-2∠CEM=180°-2（x+50°）=80°-2x，
∵∠BCM=∠CBD=x+y，
∴在△ABC中，∠A+∠CBD+∠BCE=180°，
即50°+（x+y）+（x+y+80°-2x）=180°，
整理得，2y=50°，
解得y=25°，
在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°．

點評：本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（2）解法巧妙，利用三角形內(nèi)角和定理列式正好消掉x．