Question

如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC為直徑的⊙O交AB于D，AC、DO的延長線交于E，點M為線段AC上一點，且CM=4．
（1）求證：直線DM是⊙O的切線；
（2）求ED的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）利用勾股定理得出AC的長，再利用切線的判定定理得出答案；
（2）首先得出△OCE∽△MDE，則

OC

MD

=

EC

ED

=

3

4

，進(jìn)而利用EM²=ED²+DM²，求出ED即可．

解答：（1）證明：連結(jié)CD，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，
∴AC=8，
∵CM=4，
∴AM=4，
∴M是AC中點，
∵CD⊥AB，
∴DM=CM=AM，
∠MCD=∠MDC，∠OCD=∠ODC，
∴∠ODM=90°，
∴DM是⊙O的切線；

（2）解：∵DM是⊙O的切線，
∴ED⊥DM，
∴∠ECO=∠EDM，
又∵∠E=∠E，
∴△OCE∽△MDE，
∴

OC

MD

=

EC

ED

=

3

4

，
設(shè)EC=3x，ED=4x，則EM=3x+4，
EM²=ED²+DM²，
∴（3x+4）²=（4x）²+16，
解得：x=

24

7

，
∴ED=4x=

96

7

．

點評：此題主要考查了切線的判定以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△OCE∽△MDE是解題關(guān)鍵．