Question

4．平面直角坐標(biāo)系中，有A、B、C三點(diǎn)，其中A為原點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（5，0）和（1，2）．
（1）證明：△ABC為Rt△．
（2）請(qǐng)你在直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使得△ABC與△ABD相似，寫出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并在同一坐標(biāo)系中畫出所有符合要求的三角形．
（3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個(gè)直角三角形（包括△ABC）的直角頂點(diǎn)均可得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，求取到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的概率．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，如圖1，只需運(yùn)用勾股定理求出AB²、AC²、BC²，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問(wèn)題；
（2）△ABC與△ABD相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；
（3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有A、B、C、D₁、D₂、D₃，只需求出任意兩直角頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)和長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，如圖1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），
∴AC²=1²+2²=5，BC²=（5-1）²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC為Rt△；

（2）①若△ABC∽△ABD，則有D₁（1，-2）；
②若△ABC∽△BAD，則有D₂（4，-2），D₃（4，2）；
③若△ABC∽△ADB，則有D₄（5，-10），D₅（5，10）；
④若△ABC∽△DAB，則有D₆（5，-2.5），D₇（5，2.5）；
⑤若△ABC∽△BDA，則有D₈（0，-10），D₉（0，10）；
⑥若△ABC∽△DBA，則有D₁₀（0，-2.5），D₁₁（0，2.5）；
所有符合要求的三角形如圖所示．


（3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有A、B、C、D₁、D₂、D₃．
任意兩直角頂點(diǎn)的連線段共有$\frac{6×5}{2}$=15條，
其中AB=5，CD₁=D₂D₃=4，CD₂=D₁D₃=5，CD₃=D₁D₂=3，
故長(zhǎng)度為有理數(shù)的線段共7條，長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段共8條，
則取到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的線段的概率為p=$\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．