Question

（1）已知a＞0，b＞0，c＞0．求證：

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

≥3；
（2）如果a，b，

2a-1

b

，

2b-1

a

都是整數(shù)，并且a＞1，b＞1，試求：a+2b的值．

Answer 1

分析：（1）有a²-2ab+b²=（a-b）²≥0，得出x+

1

x

≥2，然后配方法得出

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

+3≥6，從而證明

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

≥3；
（2）根據(jù)a，b，

2a-1

b

，

2b-1

a

都是整數(shù)，設(shè)

2a-1

b

=x，

2b-1

a

=y，從而討論當(dāng)a，b，x，y都是偶數(shù)時(shí)，a，b的取值．

解答：（1）證明：∵a²-2ab+b²=（a-b）²≥0
∴a²+b²≥2ab（當(dāng)a=b時(shí)取等號）
∴x＞0時(shí)，若a=x，b=

1

x

，則x+

1

x

≥2（當(dāng)x=

1

x

且x＞0時(shí)取等號）
∴

2a

b+c

+

2b

c+a

+

2c

a+b

+3
=

2a+b+c

b+c

+

2b+a+c

c+a

+

2c+a+b

a+b

=

a+b

b+c

+

a+c

b+c

+

b+c

a+c

+

a+b

a+c

+

a+c

a+b

+

b+c

a+b

…（1）；
∵a＞0，b＞0，c＞0，∴

a+b

b+c

＞0且

b+c

a+b

＞0
∴

a+b

b+c

+

b+c

a+b

≥2，

a+b

a+c

+

a+c

a+b

≥2，

a+c

b+c

+

b+c

a+c

≥2，
∴（1）≥6（當(dāng)a=b=c時(shí)取等號）
∴原不等式：

2a

b+c

+

2b

a+c

+

2c

a+b

≥3；

（2）當(dāng)a=b時(shí)，有：

2a-1

b

=

2a-1

a

=2-

1

a

.，
∵a＞1且a為整數(shù)，
∴2-

1

a

即

2a-1

b

非整數(shù)，與已知矛盾，
所以a不等于b，不妨設(shè)a＞b，
設(shè)

2a-1

b

=x，

2b-1

a

=y，且x，y均為正整數(shù)且x＞y，
∴2a-1=bx，2b-1=ay，
∴（4-xy）a=x+2，∵a＞1，x＞1且a，x均為整數(shù)，
∴4-xy必是正整數(shù)，
∴xy=3或xy=2或xy=1，
當(dāng)xy=3時(shí)，解得：

x=3 y=1

∴

a=5 b=3

，
當(dāng)xy=2時(shí)，解得：

x=2 y=1

∴

a=2 b= 3 2

（不合題意），
當(dāng)xy=1時(shí)，不合題意舍，
∴a+2b=11．

點(diǎn)評：本題考查了分式不等式的證明問題和分?jǐn)?shù)整數(shù)的概念問題，要求充分理解其概念并靈活運(yùn)用．