Question

4．在平面直角坐標系中，直線AC：y=$\frac{4}{3}$x+8分別交X軸、y軸于A、C，將△AOC沿y軸翻折得△DOC，并將△AOC繞AC邊中點旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且保證∠CEF的正切值一直為$\frac{4}{3}$．
（1）直接寫出點B和點D的坐標；
（2）△AEF與△DCE能否全等？若能，則求點E的坐標；若不能，請說明理由；
（3）當△EFC為直角三角形時，求點E的坐標；
（4）當△EFC為等腰三角形時，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線AC解析式，求出A與C坐標，根據(jù)三角形AOC繞AC邊中點旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，得到四邊形AOCB為矩形，確定出B坐標，再由折疊的性質(zhì)確定出D坐標即可；
（2）△AEF與△DCE能全等，理由為：根據(jù)AO，DC以及OD的長，確定出tan∠CDO的值與tan∠CEF的值相等，進而確定出∠CDO=∠CEF，利用外角性質(zhì)得到∠1=∠2，再由∠CAO=∠CDO，加上條件AE=CD，可得出△AEF與△DCE能全等，求出此時E坐標即可；
（3）當∠CFE為直角時，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AOC與三角形CEF相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到∠ACO=∠ECF，即E與原點重合，確定出E坐標即可；
（4）分EF=EC，F(xiàn)C=FE，CE=CF三種情況，根據(jù)△EFC為等腰三角形，確定出此時E坐標即可．

解答 解：（1）對于直線AC：y=$\frac{4}{3}$x+8，△AOC繞AC邊中點旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，
令x=0，得到y(tǒng)=8；令y=0，得到x=-6，即A（-6，0），B（-6，8），C（0，8），
由△AOC沿y軸翻折得△DOC，得到OD=OA=6，即D（6，0）；
（2）△AEF與△DCE能全等，如圖1所示，

∵AO=6，DC=8，OD=6，
∴tan∠CAO=tan∠CDO=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$=tan∠CEF，
∴∠CAO=∠CEF=∠CDO，
∵∠1+∠CEF=∠2+∠CDO，
∴∠1=∠2，
∴當AE=CD時，△AEF≌△CDE（ASA），
此時，在Rt△COD中，CD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AE=10，OE=AE-OA=10-6=4，
∴E（4，0），
則△AEF與△DCE能全等，此時E的坐標為（4，0）；
（3）當∠CFE=90°時，由∠CEF=∠CAO，∠CFE=∠AOC，得到△AOC∽△EFC，
∴∠ACO=∠ECF，
∴E在原點，即E（0，0）；
（4）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當CE=EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=10，
∴OE=AE-OA=4，即E（4，0）；
②當EF=RFC時，如圖2所示，過F作FM⊥CE，則M為CE中點，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=$\frac{6}{5}$EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{EF}{\frac{6}{5}EF}$=$\frac{AE}{10}$，
解得：AE=$\frac{25}{3}$，
∴OE=AE-OA=$\frac{25}{3}$-6=$\frac{7}{3}$，此時E（$\frac{7}{3}$，0）；
③當CE=CF時，則有∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時E與D重合，與已知條件矛盾．
綜上，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標為（$\frac{7}{3}$，0），（4，0）．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，旋轉(zhuǎn)、折疊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．