Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=$\frac{4}{3}$x+8分別交X軸、y軸于A、C，將△AOC沿y軸翻折得△DOC，并將△AOC繞AC邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且保證∠CEF的正切值一直為$\frac{4}{3}$．
（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）△AEF與△DCE能否全等？若能，則求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線AC解析式，求出A與C坐標(biāo)，根據(jù)三角形AOC繞AC邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，得到四邊形AOCB為矩形，確定出B坐標(biāo)，再由折疊的性質(zhì)確定出D坐標(biāo)即可；
（2）△AEF與△DCE能全等，理由為：根據(jù)AO，DC以及OD的長(zhǎng)，確定出tan∠CDO的值與tan∠CEF的值相等，進(jìn)而確定出∠CDO=∠CEF，利用外角性質(zhì)得到∠1=∠2，再由∠CAO=∠CDO，加上條件AE=CD，可得出△AEF與△DCE能全等，求出此時(shí)E坐標(biāo)即可；
（3）當(dāng)∠CFE為直角時(shí)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AOC與三角形CEF相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠ACO=∠ECF，即E與原點(diǎn)重合，確定出E坐標(biāo)即可；
（4）分EF=EC，F(xiàn)C=FE，CE=CF三種情況，根據(jù)△EFC為等腰三角形，確定出此時(shí)E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線AC：y=$\frac{4}{3}$x+8，△AOC繞AC邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△CBA，
令x=0，得到y(tǒng)=8；令y=0，得到x=-6，即A（-6，0），B（-6，8），C（0，8），
由△AOC沿y軸翻折得△DOC，得到OD=OA=6，即D（6，0）；
（2）△AEF與△DCE能全等，如圖1所示，

∵AO=6，DC=8，OD=6，
∴tan∠CAO=tan∠CDO=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$=tan∠CEF，
∴∠CAO=∠CEF=∠CDO，
∵∠1+∠CEF=∠2+∠CDO，
∴∠1=∠2，
∴當(dāng)AE=CD時(shí)，△AEF≌△CDE（ASA），
此時(shí)，在Rt△COD中，CD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AE=10，OE=AE-OA=10-6=4，
∴E（4，0），
則△AEF與△DCE能全等，此時(shí)E的坐標(biāo)為（4，0）；
（3）當(dāng)∠CFE=90°時(shí)，由∠CEF=∠CAO，∠CFE=∠AOC，得到△AOC∽△EFC，
∴∠ACO=∠ECF，
∴E在原點(diǎn)，即E（0，0）；
（4）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=10，
∴OE=AE-OA=4，即E（4，0）；
②當(dāng)EF=RFC時(shí)，如圖2所示，過(guò)F作FM⊥CE，則M為CE中點(diǎn)，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=$\frac{6}{5}$EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AE}{CD}$，即$\frac{EF}{\frac{6}{5}EF}$=$\frac{AE}{10}$，
解得：AE=$\frac{25}{3}$，
∴OE=AE-OA=$\frac{25}{3}$-6=$\frac{7}{3}$，此時(shí)E（$\frac{7}{3}$，0）；
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時(shí)E與D重合，與已知條件矛盾．
綜上，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，0），（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)、折疊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．