Question

（2012•房山區(qū)一模）已知：如圖，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊向線段AB的同側(cè)作正△APC和正△BPD，AD和BC交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)△APC和△BPD面積之和最小時(shí)，直接寫出AP：PB的值和∠AMC的度數(shù)；
（2）將點(diǎn)P在線段AB上隨意固定，再把△BPD按順時(shí)針方向繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α，當(dāng)α＜60°時(shí)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠AMC的度數(shù)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論．
（3）在第（2）小題給出的旋轉(zhuǎn)過程中，若限定60°＜α＜120°，∠AMC的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)寫出∠AMC的度數(shù)變化范圍；若不變化，請(qǐng)寫出∠AMC的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)AP的長是x，然后利用x表示出兩個(gè)三角形的面積的和，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得x的值，從而求得兩線段的比值；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；
（3）旋轉(zhuǎn)的過程中，（2）中得兩個(gè)三角形的全等關(guān)系不變，因而角度不會(huì)變化．

解答：解：（1）設(shè)AB=2a，AP的長是x，則BP=2a-x，
∴S_△APC+S_△PBD=

1

2

x•

3

2

x+

1

2

（2a-x）•

3

2

（2a-x）
=

3

2

x²-

3

ax+

3

a²，
當(dāng)x=-

b

2a

=-

- 3 a

2× 3 2

=a時(shí)△APC與△PBD的面積之和取最小值，
∴AP：PB=a：a=1
當(dāng)AP=BP時(shí)，
AM=AC且AM平分∠CAB，
此時(shí)∠MAB=∠MBA=30°，
∠AMC=2∠MAB=2×30°=60°，
故答案為：1，60°；
                     
（2）不變化．
證明：如圖，點(diǎn)E在AP的延長線上，
∠BPE=α＜60°．（只要畫出了符合題意的圖形即可得分） 
∵∠BPC=∠CPD+60°，
∠DPA=∠CPD+60°，
∴∠BPC=∠DPA．
在△BPC和△DPA中，
又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA．…（4分）
∴∠BCP=∠DAP．
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC
=120°-∠BCP-∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
=120°-∠PAC
=60°，且與α的大小無關(guān)．…（6分）

（3）此時(shí)α的大小不會(huì)發(fā)生改變，始終等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等邊三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．