Question

（2004•太原）已知：如圖△ABC中，高AD和BE相交于點H，且HA=HC．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）用直尺和圓規(guī)畫出經過B、H、C三點的⊙O（不寫畫法）；
（3）證明EC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意HA=HC，由等腰三角形的性質可得∠1=∠3，圓內接四邊形的性質可得∠3=∠2；聯(lián)立可得∠1=∠2；
（2）根據(jù)三角形外接圓的作法可得答案；
（3）連接CO并延長交⊙O于F，連接FH，根據(jù)角的關系，易得∠1+∠FCH=90°，即EC⊥FC，故可得EC是⊙的切線．
解答：（1）證明：在△AHC中；
∵HA=HC，
∴∠1=∠2（1分），
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AHE=∠BHD，
∴∠3=∠2（1分），
∴∠1=∠2；（1分）

（2）畫圖正確；（2分）

（3）證明：連接CO并延長交⊙O于F，連接FH，則∠F+∠FCH=90°；
由（1）知∠1=∠2，
∵∠F=∠2，
∴∠F=∠1，
∴∠1+∠FCH=90°，
∴EC⊥FC，
∴EC是⊙的切線．
點評：本題考查切線的判定，角相等的證明及三角形外接圓的作法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．