Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動點(diǎn)，將直線OP繞點(diǎn)P逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°交直線BC于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動（不與A，B重合）時，求證：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段CQ的長度為l，求出l關(guān)于m的函數(shù)解析式，并判斷l(xiāng)是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；
（3）直線AB上是否存在點(diǎn)P，使△POQ為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一問可求得BQ的值，從而求得l=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

，
所以可得到當(dāng)m=2時，l有最小值

5

3

；
（3）因?yàn)椤鱌OQ是等腰三角形所以PO=PQ，根據(jù)等式PA²+AO²=PB²+BQ²可求得m的值，從而就可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△OAP∽△PBQ，則

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA•BQ=AP•BP．（3分）

（2）解：∵OA•BQ=AP•BP，即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l(xiāng)=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

∴當(dāng)m=2時，l有最小值

5

3

．（6分）

（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在線段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P點(diǎn)坐標(biāo)（1，3）；（8分）
②若P在線段AB的延長線上，PQ交CB的延長線于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P點(diǎn)的坐標(biāo)（7，3）；
③當(dāng)P在線段BA的延長線上時，顯然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ為等腰三角形；（10分）

解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA²+AO²=PB²+BQ²（7分）
則m²+3²=（4-m）²+（

4m-m2

3

）²（8分）
整理得m⁴-8m³+16m²-72m+63=0
m⁴-8m³+7m²+9m²-72m+63=0
m²（m²-8m+7）+9（m²-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m²+9）=0
∴m₁=1，m₂=7，m²=-9（舍去）
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ為等腰三角形．（10分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．